干貨 | FIR數(shù)字濾波器設(shè)計（下）

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今天給大俠帶來FIR數(shù)字濾波器設(shè)計，由于篇幅較長，分三篇。今天帶來第三篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設(shè)計，包括窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器、頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計FIR濾波器。話不多說，上貨。

這里也超鏈接了上、中兩篇，方便參考學(xué)習(xí)。

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計（上）

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計（中）

數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號，信號通過數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對比例或濾除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。

本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設(shè)計FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時，能夠做到嚴格的線性特性。

本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計FIR濾波器。對FIR濾波器進行了詳細的理論分析，并且對應(yīng)于每種方法都給出了設(shè)計實例。通過編寫MATLAB語言程序，運行程序，得到幅頻和相頻特性圖。

對于窗函數(shù)和firls函數(shù)設(shè)計的濾波器，還通過建立Simulink系統(tǒng)模塊進行仿真，觀察濾波器濾波情況。

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計

 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語言中的數(shù)字信號處理工具箱，提供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運算更加方便和快捷。

在MATLAB中提供的濾波函數(shù)有fir1()，此函數(shù)以經(jīng)典的方法實現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設(shè)計，可以設(shè)計出低通、高通、帶通和帶阻濾波器；fir2函數(shù)設(shè)計的FIR濾波器，其濾波的頻率特性由矢量f和m決定，f和m分別為濾波器的期望幅頻響應(yīng)的頻率相量和幅值相量。

Firls()和remez()的基本格式用于設(shè)計I型和II型線性相位FIR濾波器，I型和II型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。并且提供了各種窗函數(shù)的函數(shù)，比如，hamming()是海明窗函數(shù)，hanning()是漢寧窗函數(shù)，kaiser()是凱澤窗函數(shù)，使在設(shè)計的過程中，不用自己重新設(shè)計窗函數(shù)。

Simulink是MATLAB眾多工具包中的一員，對于建模，Simulink提供了一個圖形化的用戶界面（GUI）。Simulink包括一個復(fù)雜的由接收器、信號源、線性和非線性組件以及連接件組成的模塊庫。定義完一個模型后，就可以通過Simulink的菜單或者在MATLAB的命令窗口輸入命令對它進行仿真。使用Scopes或者其他的顯示模塊，可以在運行仿真時觀察到仿真的結(jié)果。另外，還可以在仿真時改變參數(shù)，并且立即就可看到變化。

一、窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

設(shè)我們所要設(shè)計的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是 ， 是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此

（3-1）

 （3-2)

如果我們能夠在已知的情況下，求出，經(jīng)過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單位脈沖相應(yīng)是無限長的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應(yīng)濾波器的一種可能方法是對截取一段來近似代替，可是這樣會改變原來的濾波器指標，出現(xiàn)吉布斯效應(yīng)誤差。

窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列，即：

                          （3-3）

w(n)是有限長序列，當n<0或n>N-1時，w(n)=0。

這種方法的重點在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過渡帶；旁瓣相對值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。

下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：

1、矩形窗(Rectangle Window)

                            （3-4）

其頻率函數(shù)為：

（3-5）

2、三角形窗(Bartlett Window)

（3-6）

其頻率函數(shù)為：

（3-7)

3、漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗

（3-8）

利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為：

（3-9）

當  時，，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為：

             (3-10)

4、漢明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗

（3-11）

其幅度函數(shù)為：

（3-12）

5、布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗

（3-13)

其幅度函數(shù)為：

 (3-14）

6、凱澤(Kaiser)窗

（3-15）

其中：β是一個可自由選擇的參數(shù)，是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。

上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表：

窗函數(shù)法設(shè)計濾波器的步驟：

1）根據(jù)技術(shù)要求確定等待求值濾波器的單位取樣響應(yīng)。

2）根據(jù)對過渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。

3）計算濾波器的單位取樣響應(yīng)：

                            （3-16)

上式中， 是前面所選擇好的窗函數(shù)。

4）檢驗技術(shù)指標是否滿足要求。根據(jù)下式計算：

(3-17)

如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。

本篇以一個FIR濾波器的設(shè)計為例說明如何使用MATLAB設(shè)計數(shù)字濾波器。

設(shè)計實例：用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率Wp=0.4*，阻帶截止頻率Ws=0.5*, 通帶衰減不大于3db，阻帶衰減不小于40db。

1、程序如下：

Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil(8*pi/Wdel);Wn=(0.4+0.5)*pi/2;window=hanning(N+1);b=fir1(N,Wn/pi,window);freqz(b,1,512)

程序執(zhí)行后所得幅頻和相頻如下圖所示：

2、用Simulink仿真對窗函數(shù)設(shè)計的低通濾波器進行濾波：

FIR低通濾波器的Simulink仿真模塊圖如下所示：

輸入信號：s(t)=sin(30πt)+sin(56πt)+sin(70πt)

數(shù)字濾波器參數(shù)設(shè)置：已知濾波器的階數(shù)n=80。

首先在Filter Type中選擇lowpass；

在Design Method選項中選擇FIR Window，接著在Window選項中選取hann；指定Filter Order項中的Specify order為80；

采樣頻率Fs=100Hz,截止頻率Fc=22.5HZ。

設(shè)置完以后點擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會看到所設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。

設(shè)計界面如下圖所示：

信號源參數(shù)設(shè)置：三個信號源的頻率分別是15Hz、28Hz、35Hz ：

運行仿真，得波形如下圖所示：

15HZ信號波形如下：

28HZ信號波形如下：           

35HZ信號波形如下：

濾波前的疊加波形如下：         

濾波后波形如下：   

由上圖可知，15Hz、28Hz、35Hz疊加后通過截止頻率為22.5HZ的FIR低通濾波器，輸出與15Hz信號波形相似，其它的高頻被阻隔。

二、頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器

1、對理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響的等間隔采樣值H(k)。

H(k)實際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(yīng)(h(n))的離散傅里葉變換（DFT），如下關(guān)系式：

 (3-18)

  (3-19)

為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣點的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過渡點，加寬過渡帶以減小通帶的起伏。

每一個抽樣值產(chǎn)生一個與 成正比，并位移的頻率響應(yīng)，而H（k）與內(nèi)插函數(shù)的線性組合就是FIR濾波器的頻率響應(yīng)，增加一點過渡可以使阻帶衰減提高到-44~54dB，二點過渡衰減-65~75，三點過渡衰減-85~95dB。

如果不能使過渡帶太寬，同時要求增大阻帶衰減，可以增加取樣點數(shù)N，但這樣會增加計算量、延時和誤差。

頻率取樣型FIR濾波器設(shè)計步驟：

(1)給定理想濾波器頻率響應(yīng)。

(2)根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點數(shù)和h(n)的長度N。

 (3-20)

(3)由IFFT計算IDFT得到：             

 (3-21)

設(shè)計實例：

頻率采樣法設(shè)計一個帶通濾波器，

滿足：低阻帶邊緣：w1s=0.2*；低通帶邊緣：w1p=0.35*；高通帶邊緣：w2p=0.65*；高阻帶邊緣：w2s=0.8*。設(shè)計過渡帶中的頻率樣本值為t1和t2，取t1=0.109021，t2=0.59417456。

  設(shè)計程序如下：

M=40;al=(M-1)/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=[zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4)];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angh=[-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angh);h=real(ifft(H,M));freqz(h,1,512,1000)

實驗得幅頻相頻特性如下圖所示：

三、最優(yōu)化方法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器

MATLAB信號處理工具箱提供了通用的工具函數(shù)firls和remez，采用不同的優(yōu)化方法可以設(shè)計最優(yōu)濾波器和多頻帶濾波器。

firls是fir1和fir2函數(shù)的擴展，其基本設(shè)計準則是利用最小二乘法使期望的頻率響應(yīng)和實際的頻率響應(yīng)之間的整體誤差最小。

Remez函數(shù)則利用Parks-McClellan算法設(shè)計線性相位FIR濾波器。

該算法能使期望頻率響應(yīng)和實際頻率響應(yīng)之間的最大誤差最小。Firls函數(shù)設(shè)計的濾波器在頻率響應(yīng)上出現(xiàn)等波紋，因此也叫等波紋濾波器。

函數(shù)firls、remez調(diào)用的語法規(guī)則相同。

1） firls。

其調(diào)用格式為：

b=firls(n,f,a)

b=firls(n,f,a,w)

b=firls(n,f,a,’ftype’)

b=firls(n,f,a,w,’ftype’)

該函數(shù)用于設(shè)計n階FIR濾波器，其幅頻特性由f和a向量確定，f是頻率點向量，其范圍為0~1，是遞增向量；a是指定頻率點的幅度響應(yīng)，與f必須同長度；b為函數(shù)返回的濾波器系數(shù)，長度為n+1,且具有偶對稱關(guān)系：b(k)=-b(n+2-k),  k=1,2,…,n+1；

b=firls(n,f,a,w)則使用權(quán)系數(shù)w給誤差加權(quán)。

b=firls(n,f,a,w,’ftype’)調(diào)用形式中，參數(shù)’ftype’用于指定所設(shè)計的濾波器類型，ftype=Hilbert，為奇對稱的線性相位濾波器。

返回的濾波器系數(shù)滿足b(k)=-b(n+2-k),  k=1,2,…,n+1；ftype=differentiator，則采用特殊加權(quán)技術(shù)，生成奇對稱的線性相位濾波器，使低頻段誤差大大小于高頻段誤差。

2） 函數(shù)remez的基本調(diào)用格式為：b=remez(n,f,a)。

其中各項意義同函數(shù)firls所述。

設(shè)計實例：

分別使用函數(shù)firls和remez函數(shù)設(shè)計20階帶通濾波器，阻帶頻率為ws1=0.3*，ws2=0.7*，通帶頻率為wp1=0.4*,wp2=0.6*，并畫出幅頻特性曲線。

1、程序如下所示：

f=[0 0.3 0.4 0.6 0.7 1];m=[0 0 1 1 0 0];n=20;b=firls(n,f,m);       %firls函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器[h,w]=freqz(b);     bb=remez(n,f,m);     %remez函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器[hh,w]=freqz(bb);axes('position',[0.2 0.2 0.5 0.5]); plot(w/pi,abs(h),'b:',w/pi,abs(hh),'r-');xlabel('frequency');ylabel('magnitude');grid on;

實驗得幅頻相頻特性如下圖所示：

2、用Simulink仿真對用firls函數(shù)設(shè)計的帶通濾波器進行濾波：

仿真模塊如下：

輸入信號：s(t)=sin(20πt)+sin(50πt)+sin(90πt)

數(shù)字濾波器參數(shù)設(shè)置：已知濾波器的階數(shù)n=20。

首先在Filter Type中選擇bandpass；

在Design Method選項中選擇FIR least-squares；

指定Filter Order項中的Specify order為20；

采樣頻率Fs=100Hz,Fstop1=15HZ，F(xiàn)pass1=20HZ，F(xiàn)pass2=30HZ，F(xiàn)stop2=35HZ。

設(shè)置完以后點擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會看到所設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)曲線。

設(shè)計界面如下圖所示：

信號源參數(shù)設(shè)置：三個信號源的頻率分別是10Hz、25Hz、45Hz ：

運行仿真，得波形如下圖所示：

（1）10HZ信號波形如下所示：

（2） 25HZ信號波形如下所示：        

（3）45HZ信號波形如下所示：

（4）濾波前波形如下所示：

（5）濾波后波形如下所示：

由以上波形可知，10Hz、25Hz、45Hz疊加后通過通頻帶為20Hz~30Hz的FIR帶通濾波器，輸出與25Hz信號相似，低頻和高頻部分被阻隔。

第三篇就到這里，本篇在數(shù)字濾波器的設(shè)計過程中，采用的設(shè)計方法是基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設(shè)計。設(shè)計過程中充分發(fā)揮了MATLAB語言編程效率高的特點以及Simulink仿真能力強的特點，完成各種計算與圖形繪制工作，使得數(shù)字濾波器的設(shè)計變得簡便快捷。通過FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實例，說明如何利用MATLAB來完成數(shù)字濾波器的設(shè)計，設(shè)計結(jié)果的各項性能指標均達到指定要求，Simulink仿真驗證了設(shè)計方法的正確性。本篇所述設(shè)計過程簡便易行，具有很好的實際運用意義。