干貨 | FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)（上）

今天給大俠帶來FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于篇幅較長(zhǎng)，分三篇。今天帶來第一篇，數(shù)字濾波器介紹，包括數(shù)字濾波器概述、分類以及設(shè)計(jì)指標(biāo)。話不多說，上貨。

數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，信號(hào)通過數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。

本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時(shí)，能夠做到嚴(yán)格的線性特性。

本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器。對(duì)FIR濾波器進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并且對(duì)應(yīng)于每種方法都給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。通過編寫MATLAB語(yǔ)言程序，運(yùn)行程序，得到幅頻和相頻特性圖。

對(duì)于窗函數(shù)和firls函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器，還通過建立Simulink系統(tǒng)模塊進(jìn)行仿真，觀察濾波器濾波情況。

數(shù)字濾波器
一、數(shù)字濾波器的概述
所謂數(shù)字濾波器，是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定的運(yùn)算關(guān)系，改變輸入信號(hào)中所含頻率成分的相對(duì)比例，或?yàn)V除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定性高、精度高、靈活性大等突出優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于數(shù)字濾波器而言，若系統(tǒng)函數(shù)為H(z),其脈沖響應(yīng)為h(n),輸入時(shí)間序列為x(n),則它們?cè)跁r(shí)域內(nèi)的關(guān)系式（1-1）如下：

在Z域內(nèi)，輸入和輸出存在如下關(guān)系式（1-2）：

上式中， X(z)、Y(z)分別為x(n)和y(n)的Z變換。

在頻域內(nèi)，輸入和輸出則存在如下關(guān)系（1-3）：     

上式中，是數(shù)字濾波器的頻率特性；

和分別為x(n)和y(n)的頻譜，而為數(shù)字角頻率。

另一類稱為現(xiàn)代濾波器，如維納濾波器、卡爾曼濾波器等，其輸入信號(hào)中有用信號(hào)和希望濾除的頻帶成分重疊。對(duì)于經(jīng)典濾波器，從頻域上也可以分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。

從時(shí)域特性上看，數(shù)字濾波器還可以分為有限脈沖響應(yīng)（FIR，finite impulse response）數(shù)字濾波器和無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR, infinite impulse response）數(shù)字濾波器[5]。

對(duì)于有限脈沖響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器，其輸出y(n)只取決于有限個(gè)過去和現(xiàn)在的輸入，x(n),x(n-1),…,x(n-m),濾波器的輸入輸出關(guān)系可表示為表達(dá)式（1-4），如下：

對(duì)于無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器，它的輸出不僅取決于過去和現(xiàn)在的輸入，而且還取決于過去的輸出，其差分方程為表達(dá)式（1-5），如下：

該差分方程的單位沖激響應(yīng)是無(wú)限延續(xù)的。

三、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)用下式（1-6）表示：

式中，為幅頻特性，為相頻特性。幅頻特性表示信號(hào)通過濾波器后各頻率成分的衰減情況，相頻特性則反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。通常，選頻濾波器的指標(biāo)要求都以幅頻特性給出，對(duì)相頻特性不作要求，如果需要對(duì)輸出波形有嚴(yán)格要求，如語(yǔ)音合成、波形傳輸?shù)龋瑒t要求設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)是、、和。和分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通帶和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示，和分別定義為關(guān)系式（1-7）和關(guān)系式（1-8）：