干貨 | FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)（中）

今天給大俠帶來(lái)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于篇幅較長(zhǎng)，分三篇。今天帶來(lái)第二篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，包括FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)、線(xiàn)性相位條件以及基本結(jié)構(gòu)。話(huà)不多說(shuō)，上貨。

數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，信號(hào)通過(guò)數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。

本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿(mǎn)足要求的同時(shí)，能夠做到嚴(yán)格的線(xiàn)性特性。

本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器。對(duì)FIR濾波器進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并且對(duì)應(yīng)于每種方法都給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。通過(guò)編寫(xiě)MATLAB語(yǔ)言程序，運(yùn)行程序，得到幅頻和相頻特性圖。

對(duì)于窗函數(shù)和firls函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器，還通過(guò)建立Simulink系統(tǒng)模塊進(jìn)行仿真，觀察濾波器濾波情況。

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

一、FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)
FIR濾波器在保證幅度特性的同時(shí)，很容易做到嚴(yán)格的線(xiàn)性相位特性。

在數(shù)字濾波器中，F(xiàn)IR濾波器的最主要特點(diǎn)是沒(méi)有反饋回路，故不存在不穩(wěn)定的問(wèn)題。

同時(shí)，在幅度特性可以任意設(shè)置的同時(shí)，保證了精確的線(xiàn)性相位。

穩(wěn)定和線(xiàn)性相位是FIR濾波器的突出優(yōu)點(diǎn)。

另外還有以下特點(diǎn)：

• 設(shè)計(jì)方式是線(xiàn)性的；

• 硬件容易實(shí)現(xiàn)；

• 濾波器過(guò)渡過(guò)程具有有限區(qū)間；

• 相對(duì)IIR濾波器而言，階次較高，其延遲也要比同樣性能的IIR濾波器大得多。

二、FIR數(shù)字濾波器的線(xiàn)性相位條件

設(shè)濾波器單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度為N，系統(tǒng)函數(shù)為關(guān)系式（2-1），如下：

由此式可見(jiàn)，H(z)是的(N-1)次多項(xiàng)式,它在Z平面上有(N-1)個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn)z=0是(N-1)階重極點(diǎn)，位于r =1的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定性和線(xiàn)性相位特性是FIR濾波器的突出優(yōu)點(diǎn)。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)是選擇有線(xiàn)長(zhǎng)度的h(n)，使傳輸函數(shù)滿(mǎn)足要求。

線(xiàn)性相位條件為關(guān)系式（2-2），如下：

對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為關(guān)系式（2-3），如下：

上式中,稱(chēng)為幅度特性，稱(chēng)為相位特性。線(xiàn)性相位是指相位函數(shù)滿(mǎn)足如下特性：

或

是起始相位，為常數(shù)，一般稱(chēng)第一種情況為第一類(lèi)線(xiàn)性相位，稱(chēng)第二種情況為第二類(lèi)線(xiàn)性相位。

滿(mǎn)足第一類(lèi)線(xiàn)性相位的充要條件是：h(n)為實(shí)序列，并且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，

即：

；

滿(mǎn)足第二類(lèi)線(xiàn)性相位的充要條件是：h(n)為實(shí)序列，并且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱(chēng)。

即：

。

三、FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)有以下幾種：直接型、級(jí)聯(lián)型、線(xiàn)性相位型、頻率采樣型。

1、直接型

設(shè)FIR濾波器的單位沖擊響應(yīng)h(n)為一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列，則濾波器系統(tǒng)函數(shù)為關(guān)系式（2-4），如下所示：

表示這一系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的差分方程為關(guān)系式（2-5），如下所示：

直接由差分方程可得出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2-1所示：

圖2-1 ?FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)

直接型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，乘法運(yùn)算量較少。

缺點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)較難。

2、級(jí)聯(lián)型

當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將H(z)分解為實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式，見(jiàn)關(guān)系式（2-6），如下所示：

上式中，為的 變換，，，為實(shí)數(shù)。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖2-2所示：

圖2-2 ?FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

該結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)比直接型方便。

缺點(diǎn)：中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。當(dāng)的階次高時(shí)，也不易分解。

3、線(xiàn)性相位型結(jié)構(gòu)

FIR濾波器的線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)有偶對(duì)稱(chēng)和奇對(duì)稱(chēng)，不論為偶對(duì)稱(chēng)還是奇對(duì)稱(chēng)都有：

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)為關(guān)系式（2-7），如下所示：

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)為關(guān)系式（2-8），如下所示：

對(duì)這兩種情況，都可以用FIR直接型實(shí)現(xiàn)，其信號(hào)流圖如圖2-3所示。

(a)N為偶數(shù)

(b)N為奇數(shù)

圖2-3 ?線(xiàn)性相位型結(jié)構(gòu)

這種結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上是直接型，但乘法次數(shù)比直接型省了一半。

4、頻率采樣型

頻率采樣型結(jié)構(gòu)是一種用系數(shù)將濾波器參數(shù)化的一種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。一個(gè)有限長(zhǎng)序列可以由相同長(zhǎng)度頻域采樣值惟一確定。

系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上作N等分取樣就是單位取樣相應(yīng)h(n)的離散傅里葉變換。與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系可用內(nèi)插公式表示，為關(guān)系式（2-9），如下所示：

上式中，

這樣，是由梳狀濾波器和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行級(jí)聯(lián)而成的，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（信號(hào)流圖）如圖2-3所示。是一個(gè)梳狀網(wǎng)絡(luò)，其零點(diǎn)為：

, ? ?k= 0, 1，2…，N-1

剛好和極點(diǎn)一樣，等間隔地分布在單位圓上。理論上，極點(diǎn)和零點(diǎn)相互抵消，保證了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

圖2-5 ?FIR濾波器的頻率采樣結(jié)構(gòu)

頻率采樣結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：

1)在頻率采樣點(diǎn)，，只要調(diào)整就可以有效地調(diào)整頻響特性。

2）只要長(zhǎng)度N相同，對(duì)于任何頻響，其梳狀濾波器部分和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分完全相同，只是各支路增益不同。相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。

缺點(diǎn)：

1）寄存器長(zhǎng)度都是有限的，零、級(jí)點(diǎn)可能不能正好抵消，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2）當(dāng)N很大時(shí)，其結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，需要的乘法器和延時(shí)單元很多。

第二篇就到這里，下一篇帶來(lái)第三篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，包括窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器、頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器。