有關(guān)增量式PID公式的幾點疑問

一開始見到 PID 計算公式時總會問“為什么是這樣子的一道公式”，為了理解那幾道公式，當(dāng)時將其未簡化前的公式活生生地算了一遍，現(xiàn)在想來，這樣的演算過程固然有助于理解，但假如一開始就帶著對疑問的答案已有一定抽象了解后再進(jìn)行演算則會理解的更快！

首先推薦白志剛的《由入門到精通—吃透 PID 2.0 版》看完一、二章之后，建議你先通過實踐練習(xí)然后再去看書里接下來的其他章節(jié)，這樣你對這本書的掌握會更加高效。

PID 就是對輸入偏差進(jìn)行比例積分微分運(yùn)算，然后將運(yùn)算的疊加結(jié)果去控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)。實踐練習(xí)中，如何把這一原理轉(zhuǎn)化為程序？為什么是用那幾個 error 進(jìn)行計算?

以下是我摘錄的一段 PID 程序，我曾用其對智能車的速度進(jìn)行閉環(huán)控制：

P：Proportional ?比例
I：Integrating 積分
D：Differentiation 微分
Pwm_value：輸出 Pwm 暫空比的值
Current_error：當(dāng)前偏差?
last_error：上次偏差 ??
prev_error：上上次偏差
增量式 PID 計算公式：?
P=Kp*(current_error﹣last_error)；
D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)；
I=Ki*current_error；
PID_add=Pwm_value+P﹢I﹢D；

一、為什么是 PID_add=Pwm_value+（P﹢I﹢D）而不是 PID_add=P+I+D？

如上圖，有一個人前往目的地 A，他用眼睛視覺傳感器目測到距離目的地還有 100m，即當(dāng)前與目的地的偏差為 100，他向雙腳輸出Δ=100J 的能量，跑呀跑，10s 之后，他又目測了一次，此時距離為 40m，即 current_error=40，他與 10s 前的偏差 last_error=10 對比，即 current_error - last_error=-60，這是個負(fù)數(shù)，他意識到自己已經(jīng)比較接近目的地，可以不用跑那么快，于是輸出Δ=100+(-60)=40J 的能量，40J 的能量他剛好以 4m/s 的速度跑呀跑，10s 之后，他發(fā)現(xiàn)已經(jīng)到達(dá)目的點，此時 current_error=0，大腦經(jīng)過思考得出 current_error—last_error=0 - 40=-40，兩腳獲得的能量Δ=40+(-40)=0，即他已經(jīng)達(dá)到目的地，無需再跑。在剛才的敘述中，可知增量式 P+I+D 輸出的是一個增量，將該增量與調(diào)節(jié)量相加后所得到值才是最終輸出量，其反應(yīng)的是之前的輸出量是在當(dāng)前的狀態(tài)中是該增加還是該減少。

二、純比例控制 P=Kp*(current_error﹣last_error)，怎樣理解﹙current_error﹣last_error ﹚？

PID 中純比例控制就是把被控制量的偏差乘以一個系數(shù)作為調(diào)節(jié)器的輸出，在增量式 PID 中，反映在程序上的，我們被控制量就是 error，而實際上，例如在速度控制中 error=目標(biāo)速度﹣當(dāng)前速度，所以明確目的：我們通過控制 error 趨近于 0，最終使得當(dāng)前速度趨近于目標(biāo)速度。

如上圖，函數(shù)經(jīng)過時間Δt，由 y1 變化為 y2 時，問 y 增長的比例為多少？很顯然：K=﹙y2-y1﹚/Δt；

以速度控制為例，若 y 為 error，如上圖，在時間 t1 到 t2 的過程中，我們可以得到輸出控制量 error 變化的趨勢為(current_error - last_error)/Δt。得到偏差的變化趨勢后，乘以 Kp 使輸出量與 error 相對變化。這個道理猶如模擬電子電路中，聲音信號經(jīng)過功放管放大輸出的信號與輸入信號相對應(yīng)的線性變化。

三、引進(jìn)微分控制？

然而，通常情況下，我們的被控制量并非純比例式地變化，如下圖：

比例表示變化趨勢，微分則表示變化趨勢的變化率，映射到一個圖像曲線中即為導(dǎo)數(shù)的變化！上圖中若求曲線中 x2 至 x1 某點的斜率，當(dāng)Δt 足夠小時，則可近似為(y2 - y1)／Δt ，可知 x3 到 x1 導(dǎo)數(shù)的變化為﹛(y3 - y2) -(y2 - y1)﹜／Δt ＝(y3 - 2*y2﹢y1)／Δt 。將不同時間的 y1、y2、y3 映射為 prev_error、last_error、current_error；則 error 變化趨勢的變化為﹛(current_error - last_error) - (last_error - prev_error)﹜／Δt=﹛﹙current_error - 2*last_error﹢prev_error﹚﹜／Δt，可得微分 D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)。在系統(tǒng)中加入微分反映系統(tǒng)偏差信號的變化率，能預(yù)知偏差變化的趨勢，具有超前控制作用，提前處理偏差。

四、引進(jìn)積分控制？

積分控制可以消除偏差，體現(xiàn)在公式中較容易理解，當(dāng)前的偏差差經(jīng)過系數(shù) Ki 的放大后映射為輸出控制量，即 I=Ki*current_error。P 只要前后偏差之差為 0，即 current_error - last_current=0，則不進(jìn)行調(diào)節(jié)，D 只要前后偏差變化率為 0，即(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)=0，則不進(jìn)行調(diào)節(jié)。而對于積分只要偏差存在，調(diào)節(jié)就始終進(jìn)行，因此積分可以消除誤差度，但在在某些情況下，一定范圍內(nèi)的誤差是允許的，而如果此時積分調(diào)節(jié)始終存在，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，如上圖，此時可通過弱化積分系數(shù) Ki 使系統(tǒng)穩(wěn)定。