度量矩陣

度量矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，它表示了一組向量之間的距離或相似性。在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域，度量矩陣被廣泛應(yīng)用于流形學(xué)習(xí)、聚類分析、降維以及各種分類問題的解決。

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1.度量矩陣是什么

度量矩陣是指對(duì)于給定的向量空間V中的向量，定義了一種二元函數(shù)（也稱為距離）$d(x,y)$, 其中 $x$ 和 $y$ 是V中的任意兩個(gè)元素，
該函數(shù)滿足以下性質(zhì)：

• $d(x,y) ge 0$ : 定義的距離非負(fù)
• $d(x,x) = 0$ : 自反性
• $d(x,y) = d(y,x)$ : 對(duì)稱性
• $d(x,z) le d(x,y) + d(y,z)$ : 三角不等式

度量矩陣通常用矩陣$M$表示，其中$M_{i,j}$ 表示向量$i$和向量$j$之間的距離。 如果度量矩陣表示Euclidean距離，則稱該矩陣為歐氏度量矩陣。

2.度量矩陣的性質(zhì)

度量矩陣具有以下性質(zhì)：

• 對(duì)角線上均為0：每一個(gè)向量都與自身的距離為0。
• 非負(fù)性：度量矩陣中的元素均為非負(fù)數(shù)。
• 對(duì)稱性：矩陣中的第$i$行第$j$列和第$j$行第$i$列相等，即$M_{i,j}=M_{j,i}$。
• 三角不等式：對(duì)于任意的向量$x,y,zin V$，都有$d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)$。

3.度量矩陣一定是正定矩陣嗎

并非所有的度量矩陣都是正定的。 一個(gè)實(shí)數(shù)$nimes n$ 矩陣$M$ 是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)所有實(shí)數(shù)向量$xin mathbb{R}^{n}$滿足$x^TMx>0$。
因此，如果所有的特征值（eigenvalues）均為正，那么度量矩陣就是正定的。反之亦然。