傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 傳遞函數(shù)的三種表達(dá)式

1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

傳遞函數(shù)是指在線性時不變系統(tǒng)中輸入信號經(jīng)過系統(tǒng)后輸出信號與輸入信號之間的關(guān)系表達(dá)式。它具有線性和時不變性兩個基本特性，還具有因果性、穩(wěn)定性和可逆性等重要性質(zhì)。

線性性質(zhì)意味著系統(tǒng)對于輸入信號具有可加性和齊次性，即如果一個輸入信號在系統(tǒng)中產(chǎn)生了一定的響應(yīng)，那么兩個輸入信號疊加后也會分別產(chǎn)生相應(yīng)的響應(yīng)；如果輸入信號的幅度增加了k倍，相應(yīng)的響應(yīng)也會增加k倍。

時不變性質(zhì)意味著系統(tǒng)對于同樣的輸入信號，在不同的時間段內(nèi)都會產(chǎn)生相同的響應(yīng)，即系統(tǒng)的響應(yīng)只依賴于瞬時輸入值，而不依賴于時間。因此，可以通過測量系統(tǒng)對于各種標(biāo)準(zhǔn)輸入所產(chǎn)生的響應(yīng)來確定線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

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2.傳遞函數(shù)的三種表達(dá)式

傳遞函數(shù)有多種表達(dá)方式，其中比較常用的是時域表達(dá)式、復(fù)頻域表達(dá)式和極點(diǎn)零點(diǎn)表達(dá)式。

時域表達(dá)式指的是系統(tǒng)輸入和輸出之間的微分方程或差分方程，通過求解該方程可以得到系統(tǒng)的完整響應(yīng)。由于求解微分方程或差分方程比較復(fù)雜，所以通常不會直接采用此種表達(dá)方式。

復(fù)頻域表達(dá)式指的是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的表示，即把傳遞函數(shù)看作復(fù)變量的函數(shù)，繪制出其實(shí)部和虛部隨著復(fù)頻率變化的曲線。復(fù)頻域分析方法非常適合于對于系統(tǒng)頻帶寬度和穩(wěn)定性進(jìn)行分析，但對于確定系統(tǒng)精確響應(yīng)還需要進(jìn)行反變換得到時域響應(yīng)。

極點(diǎn)零點(diǎn)表達(dá)式則是將傳遞函數(shù)表示成分子式和分母式的乘積形式，分別稱為零點(diǎn)與極點(diǎn)。利用這種表達(dá)方式可以直觀地了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)特性，在控制系統(tǒng)設(shè)計中也非常有用。

傳遞函數(shù)作為描述線性時不變系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，是控制理論中重要的概念之一。在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)不同的場景采用合適的表達(dá)方式來確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，以便進(jìn)一步分析其特性、設(shè)計和優(yōu)化控制算法。