為什么卷積要先反轉(zhuǎn)再滑動呢？不翻轉(zhuǎn)為什么不行？

卓晴老師，我一直沒想明白一個問題，為什么卷積要先反轉(zhuǎn)再滑動呢？不翻轉(zhuǎn)為什么不行？

▲ 孔乙己：回字有四種寫法|插圖來自網(wǎng)絡(luò)

的確，對于兩個信號之間的卷積運算，可以理解為對其中任意個信號進行“反褶”、“平移”、“相乘”、“積分(累加)”，最后得到卷積結(jié)果：

相比之下，相關(guān)運算就沒有其中的“反褶”部分。但是，對于復(fù)值信號，需要對后面的信號取共軛[1]

卷積運算滿足一些代數(shù)性質(zhì)，比如交換律、結(jié)合律、分配率，但相關(guān)運算不滿足。

到現(xiàn)在為止，我們只是討論了這兩個運算究竟哪里不一樣，即卷積需要先反褶，再滑動，而相關(guān)運算不需要反褶。但你還在問第二個問題：不反褶不行嗎？

首先，如果參與運算兩個實數(shù)信號中，有一個信號為偶函數(shù)，那么它們的卷積運算就和相關(guān)運算相同了。即可以不進行反褶。但為什么要引入帶有反褶運算的卷積呢？

在應(yīng)用中，相關(guān)運算主要描述的是信號與信號之間的相似關(guān)系，而卷積運算描述的是信號與系統(tǒng)之間的關(guān)系。

相關(guān)運算中的核心積分運算是描述了兩個信號之間的內(nèi)積：

在線性空間中也可以引出兩個信號之間的相似程度的度量，相關(guān)運算的結(jié)果反映了兩個信號之間在不同的延遲情況下的相似性。因此可以通過尋找相關(guān)結(jié)果的峰值確定兩個信號之間的延遲關(guān)系。

卷積則是刻畫了一個線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入信號和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)信號之間的關(guān)系。利用信號可以分解成沖激信號的疊加：

在利用系統(tǒng)的線性+時不變特性，可以得到系統(tǒng)的輸出就等于的卷積。

這其中的簡單推導(dǎo)在任何一本講解信號與系統(tǒng)教材中都有。因此引入帶有反褶的卷積運算是為了刻畫信號與系統(tǒng)之間的關(guān)系的。

正是由于引入了卷積運算，所以對于任何一個線性時不變系統(tǒng)，都可以將其與一個信號（系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)）一一對應(yīng)起來。信號與系統(tǒng)達到了完美的統(tǒng)一。

由此，你可能還要問：為什么系統(tǒng)的響應(yīng)中，輸入 x(t)需要與單位沖激響應(yīng) h(t)進行卷積運算？，只是進行相關(guān)不行嗎？

進行相關(guān)運算時，參與運算的兩個信號是對等的，它們的變量都反映了信號隨著時間的過程演變的情況。但進行卷積運算時，其中一個信號是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，運算結(jié)果中的變量反映了系統(tǒng)輸出結(jié)果所在的時刻，站在時刻，考察輸入信號的不同時間的取值是如何累計出系統(tǒng)的輸出的。因此，對于信號而言，它們的變量是，而不是。

對于時刻的信號所產(chǎn)生的結(jié)果，只需經(jīng)過延遲的時間，便到達了時刻了，即。將所有的所產(chǎn)生的結(jié)果進行積分，便可以得到系統(tǒng)在時刻的取值了。

文字顯得枯燥，一圖抵千言。下面是鄭君里[2]教授的教材中對此進行的圖片描述。還是挺形象的。

▲ 信號的分解與系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

在中國科學(xué)網(wǎng)[3]也有很多教授對系統(tǒng)輸出的卷積運算中的反褶進行了很好的討論，比如曹廣福老師在我來說卷積中，討論了連續(xù)和離散時間卷積運算，并把離散卷積看成級數(shù)運算。許志強在卷積是什么？的博文中，將卷積看成加權(quán)平均積。王一哲在卷積的理解及應(yīng)用中給出了很多圖形方面的解釋。

所以，你提到的卷積運算中的奇怪的反褶過程，實際上引起過很多人的疑問以及對此的討論。

可能最后，你還要問：既然，卷積運算和相關(guān)運算這么相近，為什么非要定義這個卷積，直接就定義成反褶+相關(guān)不就行了嗎？

這個話就長了，雖然根據(jù) 奧卡姆剃刀原理[4]，可以盡可能減少概念、定理的數(shù)量來滿足數(shù)學(xué)上的精簡需求。但在工程中，人們還是喜歡偷懶。更有甚者，還采用掛羊頭，賣狗肉的做法，對一些本質(zhì)相同的運算，委以不同的名稱，雖然還達不到擾亂視聽的，但也是一種約定俗稱，比如像 離散周期序列傅里葉級數(shù)分解（DTFS）、離散傅里葉變換（DFT）、 快速傅里葉變換（FFT）**本質(zhì)上的數(shù)學(xué)概念是一樣的。

這樣也沒什么不好的，就連孔乙己都知道“回”字有四種寫法[5]呢。

▲ 康熙字典中的四種回字寫法

參考資料

[1]共軛: 復(fù)數(shù)呈現(xiàn)共軛關(guān)系是指它們的實部相同，虛部相反

[2]鄭君里: 937 年至 2019 年 4 月 14 日），1961 年畢業(yè)于清華大學(xué)無線電系。曾任清華大學(xué)電子工程系教授、通信與信息系統(tǒng)專業(yè)博士生導(dǎo)師。中國電子學(xué)會電路與系統(tǒng)學(xué)會委員、中國神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)委員會委員。

[3]中國科學(xué)網(wǎng): http://www.sciencenet.cn/

[4]奧卡姆剃刀原理:https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80%E5%8E%9F%E7%90%86/10900565?fr=aladdin

[5]回字有四種寫法: https://guoxue.ifeng.com/a/20161210/50395689_0.shtml