加入星計劃,您可以享受以下權(quán)益:

  • 創(chuàng)作內(nèi)容快速變現(xiàn)
  • 行業(yè)影響力擴(kuò)散
  • 作品版權(quán)保護(hù)
  • 300W+ 專業(yè)用戶
  • 1.5W+ 優(yōu)質(zhì)創(chuàng)作者
  • 5000+ 長期合作伙伴
立即加入
  • 正文
  • 推薦器件
  • 相關(guān)推薦
  • 電子產(chǎn)業(yè)圖譜
申請入駐 產(chǎn)業(yè)圖譜

談?wù)剼W拉公式與復(fù)指數(shù)信號

04/05 08:25
3689
閱讀需 5 分鐘
加入交流群
掃碼加入
獲取工程師必備禮包
參與熱點資訊討論

在之前的發(fā)文中,歐拉公式推導(dǎo)過程中有一處筆誤,將sin(x)和cos(x)的泰勒展開式顛倒,本次更新特別進(jìn)行更正。在此,特別鳴謝"不逃避,不回頭,不后退!"這位粉絲朋友。

正文:

無線通信中信息的傳遞是通過電磁波的形式傳遞出去的。電磁波可以用一系列不同頻率的正弦函數(shù)來表示,我們可以利用正弦信號的幅度、頻率、相位這三個特性進(jìn)行信號的調(diào)制。在進(jìn)行信號處理時,如果使用正弦信號進(jìn)行分析,就需要進(jìn)行復(fù)雜的三角函數(shù)運算,計算會相當(dāng)?shù)姆爆崱?/p>

不過,一個大牛早就幫我們找到了一個新的方向。他就是瑞士的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——萊昂哈德.歐拉,他提出了一個可以說是世界上最完美的公式——歐拉公式,在這個公式中將三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)完美的關(guān)聯(lián)到一起。于是,我們就可以使用復(fù)指數(shù)信號進(jìn)行信號分析,對于復(fù)指數(shù)來說,其運算比較簡潔,我們通常會使用復(fù)指數(shù)來替代正弦信號進(jìn)行運算。

廢話不多說,直接上公式!

e是自然數(shù);

i是虛數(shù),在通信里我們常用j表示;

cos是余弦函數(shù);

sin是正弦函數(shù);

x是以弧度單位的變量;

歐拉公式的推導(dǎo)

對于公式推導(dǎo)是最讓人頭疼的,但是不要怕,大家暫時只要做個了解就好,因為在實際應(yīng)用中也不會讓來我們推導(dǎo)這個公式,我們只要記住這個公式即可。下面我們看看歐拉公式的推導(dǎo)過程。

在歐拉公式推導(dǎo)需要用到泰勒級數(shù),先讓我們看一下泰勒級數(shù)。

公式中的變量z可以用ix帶入,得到表達(dá)式(1):

因為sinx和cosx的泰勒展開式,如下表達(dá)式(2)和(3):

所以,最后將表達(dá)式(2)和表達(dá)式(3)帶入到表達(dá)式(1),即可得到歐拉公式。

幾何意義

因為歐拉公式右邊cosθ + i sinθ是一個復(fù)數(shù),我們可以將它在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上表示,因此,e^(iθ)就是單位圓上的點,實部是cosθ,虛部是sinθ,對應(yīng)的是從原點到A,輻角為θ,長度為1的單位向量。

關(guān)于虛數(shù)i我們該怎么理解呢?

我們先來看看復(fù)數(shù)和復(fù)指數(shù)相乘會是什么情況?例如,復(fù)數(shù)z=r(cos(φ) + isin(φ))。

根據(jù)歐拉公式,可知:

復(fù)數(shù)z和復(fù)指數(shù)e^(iθ)相乘:

我們看到當(dāng)復(fù)指數(shù)乘以復(fù)數(shù),相當(dāng)于這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)θ,θ大于0逆時針旋轉(zhuǎn),小于0則順時針旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在我們來看看復(fù)數(shù)i,我們將它換一種形式表示。當(dāng)θ=π/2時,i=cos(π/2) + i sin(π/2),再根據(jù)歐拉公式得:

所以復(fù)數(shù)與i相乘,就相當(dāng)于復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量逆時針旋轉(zhuǎn)90度。

復(fù)指數(shù)信號

對于復(fù)指數(shù)信號,我們可以再引入一個時間變量t,θ隨著時間t以角速度ω變化,即θ=ωt+φ。因此,復(fù)指數(shù)信號可以表示為:

根據(jù)ω = 2πf,也可表示為:

A;幅度;

ω:角速度;

f:頻率;

φ:初相;

復(fù)指數(shù)信號是什么樣的呢?下面的圖形就是復(fù)指數(shù)信號的運動軌跡,它的運動軌跡是螺旋前進(jìn)的三維圖形,從圖中可以看出,復(fù)指數(shù)信號在復(fù)平面上的投影是個圓,在實軸和虛軸上的投影分別是余弦和正弦函數(shù)。

其實,復(fù)指數(shù)信號并不簡單,但是其運算的簡潔性,恰恰為復(fù)雜的信號處理運算提供了簡潔的數(shù)學(xué)工具。

 

推薦器件

更多器件
器件型號 數(shù)量 器件廠商 器件描述 數(shù)據(jù)手冊 ECAD模型 風(fēng)險等級 參考價格 更多信息
KSZ8873RLL 1 Microchip Technology Inc DATACOM, LAN SWITCHING CIRCUIT, PQFP64

ECAD模型

下載ECAD模型
$5.61 查看
KSZ9031RNXIA 1 Microchip Technology Inc DATACOM, ETHERNET TRANSCEIVER

ECAD模型

下載ECAD模型
$8.49 查看
DP83867ISRGZT 1 Texas Instruments Industrial temperature, robust gigabit Ethernet PHY transceiver with SGMII 48-VQFN -40 to 85

ECAD模型

下載ECAD模型
$7.14 查看

相關(guān)推薦

電子產(chǎn)業(yè)圖譜