在之前的發(fā)文中,歐拉公式推導(dǎo)過程中有一處筆誤,將sin(x)和cos(x)的泰勒展開式顛倒,本次更新特別進(jìn)行更正。在此,特別鳴謝"不逃避,不回頭,不后退!"這位粉絲朋友。
正文:
在無線通信中信息的傳遞是通過電磁波的形式傳遞出去的。電磁波可以用一系列不同頻率的正弦函數(shù)來表示,我們可以利用正弦信號的幅度、頻率、相位這三個特性進(jìn)行信號的調(diào)制。在進(jìn)行信號處理時,如果使用正弦信號進(jìn)行分析,就需要進(jìn)行復(fù)雜的三角函數(shù)運算,計算會相當(dāng)?shù)姆爆崱?/p>
不過,一個大牛早就幫我們找到了一個新的方向。他就是瑞士的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——萊昂哈德.歐拉,他提出了一個可以說是世界上最完美的公式——歐拉公式,在這個公式中將三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)完美的關(guān)聯(lián)到一起。于是,我們就可以使用復(fù)指數(shù)信號進(jìn)行信號分析,對于復(fù)指數(shù)來說,其運算比較簡潔,我們通常會使用復(fù)指數(shù)來替代正弦信號進(jìn)行運算。
廢話不多說,直接上公式!
e是自然數(shù);
i是虛數(shù),在通信里我們常用j表示;
cos是余弦函數(shù);
sin是正弦函數(shù);
x是以弧度單位的變量;
歐拉公式的推導(dǎo)
對于公式推導(dǎo)是最讓人頭疼的,但是不要怕,大家暫時只要做個了解就好,因為在實際應(yīng)用中也不會讓來我們推導(dǎo)這個公式,我們只要記住這個公式即可。下面我們看看歐拉公式的推導(dǎo)過程。
在歐拉公式推導(dǎo)需要用到泰勒級數(shù),先讓我們看一下泰勒級數(shù)。
公式中的變量z可以用ix帶入,得到表達(dá)式(1):
因為sinx和cosx的泰勒展開式,如下表達(dá)式(2)和(3):
所以,最后將表達(dá)式(2)和表達(dá)式(3)帶入到表達(dá)式(1),即可得到歐拉公式。
幾何意義
因為歐拉公式右邊cosθ + i sinθ是一個復(fù)數(shù),我們可以將它在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上表示,因此,e^(iθ)就是單位圓上的點,實部是cosθ,虛部是sinθ,對應(yīng)的是從原點到A,輻角為θ,長度為1的單位向量。
關(guān)于虛數(shù)i我們該怎么理解呢?
我們先來看看復(fù)數(shù)和復(fù)指數(shù)相乘會是什么情況?例如,復(fù)數(shù)z=r(cos(φ) + isin(φ))。
根據(jù)歐拉公式,可知:
復(fù)數(shù)z和復(fù)指數(shù)e^(iθ)相乘:
我們看到當(dāng)復(fù)指數(shù)乘以復(fù)數(shù),相當(dāng)于這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)θ,θ大于0逆時針旋轉(zhuǎn),小于0則順時針旋轉(zhuǎn)。
現(xiàn)在我們來看看復(fù)數(shù)i,我們將它換一種形式表示。當(dāng)θ=π/2時,i=cos(π/2) + i sin(π/2),再根據(jù)歐拉公式得:
所以復(fù)數(shù)與i相乘,就相當(dāng)于復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量逆時針旋轉(zhuǎn)90度。
復(fù)指數(shù)信號
對于復(fù)指數(shù)信號,我們可以再引入一個時間變量t,θ隨著時間t以角速度ω變化,即θ=ωt+φ。因此,復(fù)指數(shù)信號可以表示為:
根據(jù)ω = 2πf,也可表示為:
A;幅度;
ω:角速度;
f:頻率;
φ:初相;
復(fù)指數(shù)信號是什么樣的呢?下面的圖形就是復(fù)指數(shù)信號的運動軌跡,它的運動軌跡是螺旋前進(jìn)的三維圖形,從圖中可以看出,復(fù)指數(shù)信號在復(fù)平面上的投影是個圓,在實軸和虛軸上的投影分別是余弦和正弦函數(shù)。
其實,復(fù)指數(shù)信號并不簡單,但是其運算的簡潔性,恰恰為復(fù)雜的信號處理運算提供了簡潔的數(shù)學(xué)工具。