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這是關(guān)于現(xiàn)代合成器的系列文章的第一篇文章,本文介紹了基本的鎖相環(huán)操作以及各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
近年來(lái),頻率合成技術(shù)發(fā)生了重大變化。數(shù)十年來(lái),超低噪聲的分立式 VCO 一直是低噪聲合成器的核心存在,現(xiàn)在它們發(fā)現(xiàn)正在面臨來(lái)自集成 VCO 的挑戰(zhàn)。目前最好的分立式 VCO 仍然享有 20-30 分貝的相位噪聲優(yōu)勢(shì),但是 IC 公司正在以完全集成為武器進(jìn)行一場(chǎng)非對(duì)稱的戰(zhàn)斗,以圖主導(dǎo)這個(gè)市場(chǎng),它們并不追求最低的 VCO 噪聲,而是通過架構(gòu)創(chuàng)新讓自由運(yùn)行的 VCO 噪聲變得不再那么重要。
芯片廠商的解決方案是,在芯片上放置良好的 VCO,通過反饋將噪聲抑制到非常低的水平上,然后把它們分解到應(yīng)用頻帶內(nèi),以進(jìn)一步降低相位噪聲。分立 VCO 供應(yīng)商現(xiàn)在面臨的挑戰(zhàn)是如何將它們?cè)趹?yīng)用頻帶內(nèi)出色的相位噪聲擴(kuò)展到更高頻率上,同時(shí)還能獲得最新合成器的全部架構(gòu)創(chuàng)新優(yōu)勢(shì)。
本系列文章一共分為五篇,第一篇將回顧現(xiàn)代先進(jìn)的設(shè)計(jì)方法,余下四篇文章中,有兩篇文章將介紹詳細(xì)的噪聲分析,一篇文章講述實(shí)現(xiàn)低噪聲的關(guān)鍵部件和工具,還有一篇將給出需要低噪聲的示例,以說(shuō)明當(dāng)前的最新技術(shù)性能。
基本 PLL 操作和二階歸一化形式
大多數(shù)經(jīng)典教科書提供了標(biāo)準(zhǔn)二階形式的 PLL 設(shè)計(jì),給出了雖然是近似但仍然非常有用的設(shè)計(jì)和分析方程,以及如圖 1 所示的循環(huán)操作的簡(jiǎn)單描述。
圖 1:這是一款二階和三階形式帶高壓電荷泵的 PLL 頻率合成器(C1 = 0 表示二階)。通過可編程的 R 和 N 分頻數(shù),由固件設(shè)置頻率。
我們一向習(xí)慣于將電壓和電流視為反饋量,但是,除此之外,PLL 還將相位和頻率視為小信號(hào)頻率域變量。當(dāng)尋求在較寬的頻率范圍內(nèi)鎖定時(shí),現(xiàn)代相位頻率檢測(cè)器(PFD)充當(dāng)驅(qū)使壓控振蕩器(VCO)頻率鎖定的頻率檢測(cè)器。 隨著頻率不斷收斂,環(huán)路轉(zhuǎn)換到鎖相模式,其中,相位表現(xiàn)為數(shù)字沿的時(shí)間差,漸漸趨近于零。
頻率是相位變化量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(ω=dθ/ dt),所以可以把相位看做為頻率的積分。由于是壓控震蕩,VCO 充當(dāng)了輸入電壓到輸出相位的積分器,它會(huì)引入 -90 度的相移。這也是它的傳遞函數(shù)形式為 Ko/s 的原因,這是積分環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)頻域表示,在傳遞函數(shù)中,Ko 的單位一般是弧度 / 秒 / 伏特。VCO 的數(shù)據(jù)表通過以 MHz/V 為單位給出 Ko 的數(shù)值。為了統(tǒng)一,本文將 Hz/V 等價(jià)為 kHz,Ko 為弧度形式,因此,Ko = 2πKHz。
前向通道中的積分環(huán)節(jié)引入 -90 度相移,負(fù)反饋引入 -180 度相移,由于相移達(dá)到 -360 度時(shí)會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定,所以濾波器環(huán)節(jié)的最大允許相移為 90 度。我們通常會(huì)在環(huán)路帶寬上留下至少 40 度的“相位裕度”。該裕度來(lái)自于電阻器 R2 在傳遞函數(shù)中引入的零點(diǎn),因?yàn)槿绻麤]有這個(gè)電阻,電荷泵處的電容器會(huì)起到一個(gè)積分器的作用,再次引入 -90 度相移,這樣會(huì)直接導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。
現(xiàn)在我們回顧一下對(duì)相移的基本分析。參考文獻(xiàn)中給出了環(huán)路的經(jīng)典“相位傳遞函數(shù)”,定義如下:
Hclassic(s)是從相位檢測(cè)器上的參考輸入到反饋輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù),在經(jīng)典參考文獻(xiàn)中通常簡(jiǎn)稱為“H(s)”。 這里的 classic 下標(biāo)用于和在大多數(shù)現(xiàn)代文獻(xiàn)中用于開環(huán)傳遞函數(shù)的“H(s)”進(jìn)行清楚地區(qū)分。對(duì)于上圖,如果我們對(duì)圖中各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行變量消除、替換和求解,會(huì)得到 Hclassic(s)的具體定義:
從這個(gè)等式可以看出,這是我們所熟悉的二階控制系統(tǒng)形式,為了幫助理解和計(jì)算,我們把它轉(zhuǎn)換為如下形式的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)形式:
這兩個(gè)方程式形式相同,根據(jù)等式(2)和(3),我們可以得到如下兩個(gè)參數(shù):
這里的ωn 是“自然”角頻率,接近但通常不等于開環(huán)帶寬。系統(tǒng)穩(wěn)定后,其瞬態(tài)響應(yīng)會(huì)以固有頻率“反復(fù)震蕩”。這里的ζ是“阻尼因子”,為了保證系統(tǒng)最終能夠趨于穩(wěn)定,這個(gè)參數(shù)必須大于零。通常,我們會(huì)將阻尼系數(shù)設(shè)定為大約 0.5,這將提供大約 45 度的相位裕度,或者增加一個(gè)介于 0.7-1 之間的額外濾波極點(diǎn)。
通常的 PLL“誤差傳遞函數(shù)”定義為:
根據(jù)自動(dòng)控制理論,He(s)也可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式:
從頻率響應(yīng)來(lái)看,He(s)是高通函數(shù),而相位傳遞函數(shù) Hclassic(s)是低通函數(shù)。而且,從上面公式可以很快看出:
結(jié)果表明,使用這些函數(shù)可以方便地表達(dá) PLL 的許多調(diào)制和噪聲響應(yīng),這將有助于理解環(huán)路是如何形成噪聲的。例如,相位檢測(cè)器參考輸入上的相位或相位噪聲變化將轉(zhuǎn)化為與相位傳遞函數(shù)成比例的 VCO 輸出。由于相位傳遞函數(shù)是一個(gè)低通函數(shù),因此,高于環(huán)路帶寬的噪聲將被抑制掉或者被調(diào)制。環(huán)路帶寬內(nèi)的壓控振蕩器相位噪聲將根據(jù)上面給出的 He(s)函數(shù)形式被抑制,這部分噪聲包括分壓器噪聲、電荷泵噪聲和晶體參考噪聲。
根據(jù)上面的各個(gè)分析方程式,我們可以得到以下設(shè)計(jì)方程:
這兩個(gè)方程用于根據(jù)所選擇的固有自然角頻率和阻尼因子的數(shù)值確定 R 和 C 的具體值。當(dāng)引入額外的濾波極點(diǎn)時(shí),這些值會(huì)發(fā)生變化(特別是電容器會(huì)變化很大),但用這兩個(gè)公式依然可以作為非常有用的起點(diǎn),可以用于許多近似值的求取上,比如建立時(shí)間、超調(diào)量,也可以用于尋找環(huán)路濾波器可能的最小熱噪聲。
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三階無(wú)源濾波器 PLL
這是一種具備高度可用性的最簡(jiǎn)單的三階無(wú)源濾波器 PLL 形式,只需要添加一個(gè)額外的電容器 C1 就能實(shí)現(xiàn)。這里引入了另一個(gè)濾波器極點(diǎn),它可以抵消掉一個(gè)零點(diǎn)。這意味著,對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)的相位頻率響應(yīng)而言,存在一個(gè)頻率點(diǎn),相位在該處取得最高峰值,然后再下降(圖 2)。
圖 2:這是一個(gè)經(jīng)過正確設(shè)計(jì)的三階 PLL 的開環(huán)增益頻率響應(yīng)曲線和相位頻率響應(yīng)曲線。通過設(shè)計(jì),最大相位出現(xiàn)在環(huán)路帶寬位置上。
環(huán)路濾波器阻抗為:
根據(jù)電路分析,上述公式中的參數(shù)如下:
開環(huán)增益函數(shù)由(G 是前向通道增益的傳遞函數(shù),H 為反饋通道的傳遞函數(shù))給出:
我們知道 Kd、Ko 和 N 這三個(gè)參數(shù),需要選擇環(huán)路帶寬ωL 和相位裕度φm。為了找到我們上面公式中的三個(gè)未知數(shù) A0、T1 和 T2,需要建立三個(gè)等式。我們從 GH 的增益(在ωL 處為 1)、GH 的相位(在ωL 處給出φm)以及 GH 的相位相對(duì)于ω的導(dǎo)數(shù)(在ωL 處為零)求得它們。這也是現(xiàn)代控制理論中的基本方法。
GH 的幅值為:
當(dāng)ω = ωL 時(shí),該幅值為 1,可以求得 A0
相位裕度是一個(gè)從零度到 90 度的正數(shù),它是開環(huán)相位和 180 度的差值:
將相位裕度視為相移相對(duì)于可變頻率的導(dǎo)數(shù),并在ω=ωL 處將該導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零,可以得到:
我們現(xiàn)在對(duì)兩個(gè)未知數(shù) T1 和 T2 有了兩個(gè)非線性方程。 我們可以用數(shù)學(xué)方法求解出這兩個(gè)未知數(shù),但是有的參考文獻(xiàn)中給出了一個(gè)封閉形式的解法:
現(xiàn)在,我們可以確定如下電路參數(shù)的值:
二階濾波器(三階環(huán)路)是能夠?qū)崿F(xiàn)最低噪聲的濾波器形式。但是,將帶寬推高之后,通常需要一個(gè)額外的濾波極點(diǎn),以保證相位檢測(cè)器的噪聲不會(huì)污染 VCO 的噪聲。
四階無(wú)源濾波器 PLL
這種形式使用了圖 3 中所示的三階濾波器,它可能是當(dāng)前的 VCO 產(chǎn)品中最常見的濾波器形式。
圖 3:這是四階和五階的濾波器形式
開環(huán)傳遞函數(shù)由下式給出:
濾波器(傳遞)阻抗由下式給出:
系數(shù) A1 和 A2 是冗長(zhǎng)函數(shù)中參量的有用縮寫(參見該參量的冗長(zhǎng)版本)。
使用開環(huán)傳遞函數(shù)中的幅度頻率特性:
我們接下來(lái)定義 Banerjee 所謂的“極值比”,設(shè)計(jì)師應(yīng)根據(jù)諸如雜散排斥等因素來(lái)選擇合適的極點(diǎn)比值。從技術(shù)上講,這些比值可以更恰當(dāng)?shù)乇环Q為時(shí)間常數(shù)的比率,但我們將繼續(xù)使用當(dāng)前控制系統(tǒng)領(lǐng)域已經(jīng)建立的術(shù)語(yǔ)來(lái)稱它們?yōu)闃O值比。
T31 用來(lái)定義所增加的極點(diǎn)到虛軸的距離,我們必須使用小于 1 的 T31,而且我們發(fā)現(xiàn),將它定位 0.5 就可以幾乎實(shí)現(xiàn)所有可能的雜散抑制。
開環(huán)傳遞函數(shù)的相位裕度由下式給出:
相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值處。以相位對(duì)可變頻率取導(dǎo)數(shù),然后應(yīng)用ω=ωL 的一階導(dǎo)數(shù)為 0 進(jìn)行計(jì)算,給出:
在選定了合適的極值比 T31 之后,T3=T31*T1,可以對(duì) T2 和 T1 進(jìn)行數(shù)值求解。
現(xiàn)在我們來(lái)看看 Banerjee 使用的“Gamma 優(yōu)化因子”。它允許使用近似,我們可以將 T2 的早期表達(dá)式以近似形式擴(kuò)展到更高階的循環(huán)(參考文獻(xiàn) 7,第 5 版,第 309 頁(yè)),同時(shí)定義γ:
在實(shí)際設(shè)計(jì)中,該參數(shù)通常接近 1,范圍為 0.7 至 1.3。
經(jīng)過替換,我們可以得到這個(gè)近似值(相位裕度為相位和 180 度的差值):
在上面這個(gè)表達(dá)式中,只需要求解出 T1 的值。當(dāng) x 較小時(shí),tan-1 可以近似等于 x,計(jì)算得出的 T1 結(jié)果是:
再計(jì)算其它兩個(gè)時(shí)間常數(shù):
使用近似方法時(shí):
我們根據(jù)以下公式計(jì)算 A1 和 A2:
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現(xiàn)在,對(duì)于 C1、C2、C3、R2、R3 這五個(gè)未知數(shù)有了四個(gè)等式,為了求解,需要找到第五個(gè)方程,Banerjee 采用的方法是找到滿足這些等式的 C3 的最大值。對(duì)上面這些等式進(jìn)行一系列變換操作,可以找到 C3:
使用一階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn) C3 的峰值:
到這里為止,我們可以求解 C1 了,將它插入到等式 40 中求得 C3,最終結(jié)果為:
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無(wú)源濾波器五階 PLL
在環(huán)路中增加一個(gè)額外的 RC 環(huán)節(jié)可以在三階濾波器的基礎(chǔ)上對(duì)遠(yuǎn)距離雜散抑制指標(biāo)進(jìn)行適度改善。以一種非常近似的比較,三階環(huán)路濾波器對(duì)二階的改進(jìn)大約是 2 到 7 分貝,四階濾波器相對(duì)于三階濾波器的改進(jìn)大約是 1-3 分貝(參考文獻(xiàn) 7,第 5 版,第 7 頁(yè))。
運(yùn)算放大器有源濾波器 PLL
使用運(yùn)算放大器的主要原因是可以擴(kuò)展環(huán)路濾波器的電壓范圍,以允許 VCO 具有較大的調(diào)諧范圍,相比之下,無(wú)源環(huán)路濾波器僅限于相對(duì)較低的合成器 IC 電荷泵輸出范圍。如文獻(xiàn) 2 和文獻(xiàn) 3 所示,有源濾波器方案可以降低 Ko,提高穩(wěn)定性,并降低噪聲。運(yùn)算放大器還允許使用阻值更小、噪聲更低的電阻,并可以在運(yùn)算放大器后放置一個(gè)極值最低的極點(diǎn)。有源環(huán)路濾波器有幾種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),這里(圖 4)以完整的四階形式給出一個(gè)優(yōu)選版本。
圖 4:這是一個(gè)有源四階濾波器和五階 PLL,也可以選擇五階濾波器。這種濾波器被稱為“慢速震蕩”有源濾波器,因?yàn)檩斎氲?RC 環(huán)節(jié)降低了對(duì)響應(yīng)速度的要求。運(yùn)算放大器的帶寬限制性能有利于使用雙極輸入濾波器選項(xiàng),將濾波器轉(zhuǎn)換為五階,將環(huán)路轉(zhuǎn)換為六階。
為運(yùn)算放大器的正輸入端提供一個(gè)低噪聲的直流參考電壓,環(huán)路和運(yùn)算放大器的組合可以將運(yùn)算放大器的負(fù)輸入保持在相同的電壓水平上。在這種形式下,運(yùn)算放大器的輸出將通過流過 Zfor 的電流“泵升”,以承受維持鎖定所需的任何電壓??梢赃x擇合適的器件參數(shù)值,使這種反相形式的噪聲增益很?。ㄒ姷?2 條)。
對(duì)于傳輸阻抗 Z(f),我們發(fā)現(xiàn):
重要的一點(diǎn)是 T4 應(yīng)該是最低頻率的極點(diǎn)。
我們還發(fā)現(xiàn):
作為 jω的函數(shù)的開環(huán)增益是:
使用開環(huán)傳遞函數(shù)的幅度函數(shù)(在循環(huán)帶寬處為 1):
無(wú)論是 f1 較低還是 f3 較低,最低頻率的極點(diǎn)都應(yīng)該是 f4。
為了評(píng)估 A0 的值,我們需要得到 T4 和 T2,然后使用選定的極值比來(lái)求得 T1 和 T3,準(zhǔn)確的方程形式為:
最大相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值位置,我們用ω=ωL 代替出現(xiàn)最大相位裕度時(shí)的頻率,通過一階導(dǎo)數(shù)測(cè)試求?。?/p>
以上這些可以用于求出 T2 和 T4 的數(shù)值解,求出 T2 和 T4 后,通過選定的極值比導(dǎo)出 T1 和 T3,對(duì)于 f4 以上的最低極點(diǎn),極值比大約為 0.5,次低極點(diǎn)的極值比大約為 0.25??梢詫⑾旅娴慕浦底鳛榍笕?shù)值解的起點(diǎn):
我們可以使用γ= 1,或者根據(jù) Banerjee 給出的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)改變它的取值。剩下的唯一變量就是 T4 了,我們可以求得它的數(shù)字解,或者求取近似解:
如果使用近似形式,可以進(jìn)一步求得 T2:
無(wú)論是數(shù)值解,還是近似解,根據(jù)選定的極值比:
現(xiàn)在,我們已經(jīng)有了 A0 = C1 + C2 這個(gè)等式所需的所有變量值了,然后我們可以找到所有器件的參數(shù)值:
現(xiàn)在我們來(lái)選擇 R3、C3、R4 和 C4 的值,這看起來(lái)很簡(jiǎn)單,因?yàn)槲覀冇兴鼈兊臅r(shí)間常數(shù)(RC 乘積),但是這里有一些微妙的復(fù)雜性需要處理,而且還要考慮運(yùn)算放大器的限制。
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在運(yùn)算放大器的輸入端,乍看起來(lái),似乎較小的 R3 可能有助于降低噪聲,但事實(shí)恰恰相反。 R3 的熱噪聲以其取值平方根的形式上升,噪聲增益也會(huì)隨著 R3 而下降,因此運(yùn)算放大器輸出上的 R3 噪聲隨著其取值以平方根的形式下降。 因此,我們傾向于根據(jù)其他限制允許選擇最大的 R3。
Banerjee 給出了相位頻率檢測(cè)器在頻率鎖定模式下的占空比,它是 fref 和 fout / N 之比的函數(shù),如下所示:
上式中的 flower 取 fref 和 fout / N 中的最小值。由于大多數(shù) VCO 的鎖定頻率和其中心頻率的距離不是很遠(yuǎn),因此占空比很少超過 10%(倍頻程型 VCO 是例外)。
我們將ΔVmC3 定義為在頻率鎖定采集事件期間,我們希望在 C3 上施加的最大濾波電壓和 Vref 的差值(比如為了符合運(yùn)算放大器的輸入要求)?;诖?,我們可以對(duì) R3max 寫一個(gè)關(guān)系式:
此外,我們需要注意轉(zhuǎn)換速率限制。 Banerjee 提供了實(shí)驗(yàn)證據(jù),如果運(yùn)算放大器的轉(zhuǎn)換速度不夠快,則環(huán)路帶寬內(nèi)的 1 / f 相位噪聲會(huì)惡化(通常會(huì)降低幾個(gè)分貝)。最壞情況下的壓擺率(最高值)通常對(duì)應(yīng)的是頻率鎖定過程結(jié)束時(shí)的頻率鎖定情況,由下式給出:
此外,還需要注意運(yùn)算放大器的帶寬限制問題,不過,我們可以通過添加雙極輸入濾波器來(lái)減輕它的影響。它可以幫助在濾波器件對(duì)運(yùn)算放大器進(jìn)行頻率限制,以防止有超出其指定帶寬的信號(hào)到達(dá)它的輸入端。
接下來(lái),我們考慮運(yùn)算放大器輸出電流在 C4 上的限制。我們習(xí)慣于在運(yùn)算放大器的數(shù)據(jù)手冊(cè)上看到嚴(yán)格的負(fù)載限制,但是,當(dāng)這些負(fù)載被直流隔離時(shí),許多負(fù)載可以驅(qū)動(dòng) 10Ω甚至更小的負(fù)載,即使是大電容也是如此。不過,如果 PLL 上的頻率發(fā)生很大變化,那么該電容會(huì)激發(fā)出較大的電流,可能會(huì)超過運(yùn)算放大器的最大值,該限制值一般在 10mA 至 100mA 范圍內(nèi)。從根本上說(shuō),我們希望,在較大的頻率變化期間,運(yùn)算放大器最大電流 Iopmax 能夠以與 Dc * Ipd 對(duì) C2 充電相同的速率對(duì) C4 充電。使用庫(kù)侖定律 I * t = CV:
由于尺寸和成本的原因,得到的這個(gè)最大值有時(shí)會(huì)超過我們想要在實(shí)際設(shè)計(jì)中使用的值,而且,即使進(jìn)行了直流隔離,它也可能導(dǎo)致運(yùn)算放大器的電阻值太小。在這種情況下,我們先選擇 R4 的值,讓它的其熱噪聲遠(yuǎn)小于運(yùn)算放大器的噪聲,然后再計(jì)算 C4 = T4 / R4。
后面的系列文章
本文給出的傳遞函數(shù)能夠用來(lái)揭示第 2 篇和第 3 篇文章中的噪聲來(lái)源和形狀,這兩篇文章同時(shí)展示了推動(dòng)完全集成的關(guān)鍵創(chuàng)新,以及分立 VCO 制造商是如何進(jìn)行反擊的。第 4 篇文章將介紹作為低噪聲合成器設(shè)計(jì)者武器的關(guān)鍵部件和 CAD 工具。第 5 篇給出了集成和分立 VCO 合成器的要求和示例。
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