電單車?yán)M：59米賽道跑了4圈半

 

簡介：對于學(xué)生在課后提出的關(guān)于全通系統(tǒng)的追問，推導(dǎo)出原來課件中存在的條件。這里的條件也完善了課件內(nèi)容。對于學(xué)生的追問也令授課教師感到幸福。
關(guān)鍵詞：全通系統(tǒng)，RLC電路

§01、全通系統(tǒng)

在上周的“信號與系統(tǒng)”課上，講述到系統(tǒng)的頻率特性[1]分析，涉及到全通系統(tǒng)[2]的概念。也就是信號通過全通系統(tǒng)后，幅度譜不變，僅僅相位譜發(fā)生改變。其中列舉的電路系統(tǒng)全通系統(tǒng)的例子，如下圖所示。這個例子比較成熟，在很多教科書中都會涉及到。

▲全通系統(tǒng)示例

由于時間的原因，在課堂上并沒有對于該全通電路系統(tǒng)進行詳細介紹，僅僅介紹了它的結(jié)果。根據(jù)該系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)的零點、極點關(guān)于虛軸對稱分布的特點，可以得出信號通過該系統(tǒng)后，所有頻率分量的幅度增益相同，相位隨著頻率的增益單調(diào)下降。

作為全通系統(tǒng)的樣例，在電路介紹的時候，在課件上并沒有將電路中的所有條件進行列寫出來。本以為由于該電路求解相對比較繁瑣，并不會引起班上的學(xué)生的特別的重視。但還是樣本學(xué)生在課后，對于這樣的電路進行了推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)其中存在的問題。學(xué)生通過微信發(fā)送來疑問：

“

老師好，想問一個問題。此處的全通網(wǎng)絡(luò)我認為是等效成一個交流電橋，然后利用戴維南定理計算傳遞函數(shù)，算出來是這個式子：

”

想問一下到底是哪個才對?而且ppt上給出的式子甚至沒有電容C。

且不論該學(xué)生自行推導(dǎo)的公式是否正確，至少這個全通電路系統(tǒng)引起了他的興趣，并做了進一步的追問。

審視在這個成熟的全通系統(tǒng)的用例，的確對于它原有的出處少量佐證，至少能夠看到在原有課件中存在的缺少的條件。盡管沒有在第一時間能夠回答學(xué)生的提問，不過下面可以從問題的反方向來推導(dǎo)出上述電路系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)的必要條件。

§02、對稱電路系統(tǒng)

下面僅僅依靠由LC組成的對稱網(wǎng)絡(luò)，輸出負載為電阻R，可以推導(dǎo)出電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。為了方便，使用器件s域模型，將原來的動態(tài)電路網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成變換域內(nèi)的電阻網(wǎng)絡(luò)。

首先根據(jù)對稱的LC網(wǎng)絡(luò)，將其重新整理成對稱的交流電橋的形式。輸出負載R就是電橋中點電壓的負載。

下圖顯示了全通網(wǎng)絡(luò)整理后的H橋接的形式。為了簡化電路的求解，利用戴維寧定理（Thevenin'sTheorem）[3]將電橋兩邊分別等效成電壓源與電抗的串聯(lián)形式。

電路的等效性是如下圖所示。兩邊的等效電路中，恒壓源為輸出開路時對應(yīng)的LC分壓數(shù)值。電壓源內(nèi)阻為從網(wǎng)絡(luò)輸入端口處的交流電阻。因此可以分別計算出以及，然后利用電阻網(wǎng)絡(luò)分壓定理計算出輸出電壓信號。

兩個的數(shù)值為：

兩個內(nèi)阻相同，它們等于：

那么作用在電阻上的輸出電壓為：

所以該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

從上面可以看出，如果希望希望網(wǎng)絡(luò)能夠最終形成只有一對零點、極點z形成虛軸左右對稱關(guān)系，組成全通系統(tǒng)，那么只有將分母配置成在實軸上的2階重根，與分子抵消一個位于左半復(fù)平面的零點之后，便可以最終剩下一對關(guān)于虛軸左右對稱的零極點了。所以需要有如下的數(shù)值關(guān)系：

由此，可以將分母配置成一個2重根的表達式：

這樣與分子抵消一個零點之后，最終形成了電路傳遞函數(shù)的有理分式。其中對應(yīng)的零點和極點關(guān)于虛軸對稱，系統(tǒng)滿足全通系統(tǒng)的要求。

因此從上述推導(dǎo)來看，在原來的課件中的確少了一個條件，也就是前面給出的之間的關(guān)系。

§03、討論總結(jié)

上面討論過程，一方面補充了原來課件中少列些出的電路條件，另外也算給提問學(xué)生做了一個簡要的回答。在講課過程中的一些細節(jié)能夠引起學(xué)生的注意和追問，的確是作為一個教師所能感受到樂趣。再次也再次感謝追問課件中問題的學(xué)生。

參考資料

[1]頻率特性:https://baike.baidu.com/item/%E9%A2%91%E7%8E%87%E7%89%B9%E6%80%A7/20265680?fr=aladdin

[2]全通系統(tǒng):https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A8%E9%80%9A%E7%B3%BB%E7%BB%9F

[3]戴維寧定理（Thevenin'sTheorem）:https://baike.baidu.com/item/%E6%88%B4%E7%BB%B4%E5%8D%97%E5%AE%9A%E7%90%86/98440?fr=aladdin