無(wú)中生有：從方波信號(hào)中產(chǎn)生原本不存在的二次諧波的21種電路設(shè)計(jì)方法

課堂練習(xí)題

今天信號(hào)與系統(tǒng)課堂上，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)課堂和同學(xué)們討論了一個(gè)來(lái)自于鄭君里教授在其《教與寫的記憶》書中記載的他當(dāng)年在課堂上與同學(xué)們討論的問題。這個(gè)問題就是如何設(shè)計(jì)一個(gè)電路系統(tǒng)，由對(duì)稱方波（占空比為 50%的方波）作為輸入，產(chǎn)生一個(gè)頻率為對(duì)稱方波兩倍頻的正弦波。

現(xiàn)在課程講完了第三章，信號(hào)的頻譜分析（傅里葉變換），鄭君里教授的這個(gè)課堂討論題目比較適合來(lái)闡述信號(hào)的波形與頻譜的關(guān)系、線性是不變系統(tǒng)的特性、系統(tǒng)的頻率特性等問題。

課堂討論問題

題目中的“坑”

鄭老師當(dāng)年是面對(duì)電子工程系的同學(xué)來(lái)出的這道題目。大部分的同學(xué)在模擬電路、電路原理、高頻電子線路課程中學(xué)習(xí)過(guò)選頻放大電路。使用它可以將蘊(yùn)含在信號(hào)中的某個(gè)單頻信號(hào)進(jìn)行放大輸出。

比如對(duì)于一個(gè)周期信號(hào)，它的交流分量包括有基波以及各階高次諧波，就可以使用選頻電路來(lái)獲得周期信號(hào)中特定的高次諧波的正弦信號(hào)。這也是通訊電路中常見到的電路設(shè)計(jì)。

選頻放大電路

?

當(dāng)然。在這個(gè)問題中，鄭君里教授是預(yù)先埋伏了一個(gè)“坑”：那就是對(duì)于一個(gè)對(duì)稱方波周期信號(hào)，它具有特殊的“奇諧對(duì)稱”特性，它的諧波中只包含有奇次諧波，也就是只有 1,3,5,7,..... 次諧波，所以直接使用前面的選頻放大電路對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行選頻放大是無(wú)法產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的二倍頻正弦信號(hào)的。

因此，在設(shè)計(jì)的電路中需要具有一個(gè)電路環(huán)節(jié)，能夠從方波信號(hào)中產(chǎn)生原本不存在的二次諧波。這種能夠“無(wú)中生有”產(chǎn)生新的頻率的電路不能夠是“線性時(shí)不變”系統(tǒng)。因?yàn)榫€性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出信號(hào)中無(wú)法產(chǎn)生與輸入信號(hào)不同頻率的信號(hào)。

幾種解決方案

經(jīng)過(guò)鄭老師的提醒，班上的同學(xué)也紛紛給出了不同思路的解決方案。

課堂討論部分學(xué)生方案

?

這些方案可以分為三大類：第一大類： 先通過(guò)選頻電路獲得信號(hào)的基頻正弦信號(hào)，然后在通過(guò)整流（半波整流、全波整流）電路、平方電路形成帶有二次諧波的周期信號(hào)，最后在通過(guò)選頻電路獲得二倍頻正弦信號(hào)；

第二大類： 通過(guò)對(duì)普通的 RC 微分電路和積分電路的改造，比如在電阻 R 上增加非線性的二極管器件，或者對(duì)輸出的信號(hào)進(jìn)行二極管全波整流等，來(lái)產(chǎn)出非“奇諧對(duì)稱”的信號(hào)，然后在使用選頻電路獲得二倍頻正弦信號(hào)；

第三大類： 直接使用數(shù)字信號(hào)電路，比如單穩(wěn)態(tài)觸發(fā)電路、脈沖延遲電路、異或電路等，產(chǎn)生二倍頻的脈沖信號(hào)，或者非奇諧對(duì)稱的脈沖信號(hào)，然后在通過(guò)選頻電路獲得二倍頻正弦信號(hào)。

今天課程中學(xué)生給出的部分答案

今天在課堂上，自動(dòng)化系的同學(xué)們紛紛給出了自己的設(shè)計(jì)方案草圖，其中有正確的，也有錯(cuò)誤的，下面逐一分析一下：

答案 1：延遲異或電路

答案 1

?

這個(gè)電路屬于前面第三類方案。其中的延遲電路屬于線性電路，異或部分屬于非線性電路，新的頻率也由此產(chǎn)生。根據(jù)我的要求，同學(xué)沒有繼續(xù)將后級(jí)的選頻放大電路給出。

答案 2：非線性 RC-D 電路

答案 2

?

這個(gè)屬于前面第二類解決方案。這個(gè)方案沒有在電阻 R 上并聯(lián)非線性器件二極管，而是在電容上并聯(lián)，這同樣也能夠輸出非奇諧對(duì)稱的波形。如果大家感興趣可以繪制出該電路在占空比為 50%的方波驅(qū)動(dòng)下的輸出波形。

后期通過(guò)選頻電路便可以獲得二倍頻的正弦信號(hào)了。

答案 3：RC 微分+整流

答案 3

?

這個(gè)方案也屬于前面第二大類的方案。

這里面有一個(gè)特別的地方，即不能夠直接在原來(lái)的方波信號(hào)上進(jìn)行整流。在原題中所給的方波是 0~5V 的方波，如果直接全波整流，所獲得的仍然是對(duì)稱的方波信號(hào)。因此這里的 RC 微分電路是需要的。

答案 4：平方電路

答案 4

?

這個(gè)答案屬于前面第一大類方案。同學(xué)答案中并沒有繪制出平方電路的實(shí)現(xiàn)。

實(shí)際上，對(duì)基頻正弦波進(jìn)行平方運(yùn)算，根據(jù)三角函數(shù)恒等式，在輸出的結(jié)果中就包含有一個(gè)直流分量和一個(gè)二倍頻的正弦信號(hào)了，所以最后只需要在添加一個(gè) RC 隔直電路便可以輸出所需要的二倍頻正弦信號(hào)。

答案 5：奇怪的二極管電路

答案 5

?

這個(gè)方案就顯得比較奇怪了。如果課堂時(shí)間允許，我可能會(huì)請(qǐng)?zhí)峁┻@個(gè)答案的同學(xué)通過(guò)視頻給大家把它的想法的細(xì)節(jié)講清楚。

在他的電路中，方波信號(hào)通過(guò)一對(duì)極性相反的并聯(lián)二極管之后再去微分，由于給定的方波是 0~5V 的信號(hào)，所以前面的并聯(lián)二極管電路實(shí)際上對(duì)信號(hào)不起作用。所以最終的信號(hào)是對(duì)方波取微分。

但微分電路是線性定常電路，并不能夠改變輸入信號(hào)的頻率分量，所以這個(gè)電路存在缺陷。

當(dāng)然，如果他的電路中的二極管是作用在 RC 微分電路中的電阻或者電容上，情況就變成了前面第三類答案了。

答案 6：T 觸發(fā)器

答案 6

?

通過(guò) T 觸發(fā)器完成對(duì)輸入信號(hào)的二分頻。輸出頻率為原來(lái)方波頻率一半的方波信號(hào)。輸出的信號(hào)也是嚴(yán)格的占空比為 50% 的方波信號(hào)，其中只包括基波的奇次諧波，所以這個(gè)電路中也沒有原來(lái)信號(hào)的二倍頻信號(hào)。

答案 7：對(duì)基頻進(jìn)行半波整流

答案 7

?

這個(gè)答案屬于前面第一大類方案，方案是正確的。

答案 8：二階 RC 電路

答案 8

?

其中文字描述了改變方波的占空比，然后在通過(guò)一個(gè)二階的 RC 低通濾波器來(lái)獲得信號(hào)中低頻諧波信號(hào)。這個(gè)方案中存在兩個(gè)問題：

只是通過(guò)文字描述來(lái)改變方波的占空比，思想是對(duì)的，將方波的占空比調(diào)整到非 50%即可改變信號(hào)的“奇諧對(duì)稱性”，但問題在于沒有給出具體的實(shí)現(xiàn)電路。估計(jì)該同學(xué)的數(shù)字電路課程沒有學(xué)習(xí)好；使用二階 RC 電路只能獲得信號(hào)的低頻信號(hào)，其中應(yīng)該是基波成分更大，二次諧波成分次之，所以并不是二倍頻的正弦信號(hào)。應(yīng)該將 RC 低通濾波器修改成 LC 選頻放大電路。

答案 9：與非電路

答案 9

?

這個(gè)電路非常新穎，如果不做仿真，還無(wú)法立即判斷該電路的輸出 U0 的波形，近而判斷輸出信號(hào)中是否包含有二次諧波。

電路將原來(lái)的方波信號(hào)以及它的反向信號(hào)經(jīng)過(guò)后面的 RC 微分，施加在后面的與非門上。如果 RC 的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方波信號(hào)的周期，所以在后面的與非門的輸入端大部分的情況都是高電平，所以 U0 大部分情況下是保持低電平。

當(dāng)輸入方波的上升沿，或者下降沿來(lái)臨的時(shí)候，則會(huì)通過(guò) RC 微分在后面的與非門的一個(gè)輸入端產(chǎn)生一個(gè)負(fù)極性脈沖，從而引起輸出產(chǎn)生一個(gè)正向脈沖。由于是在上升沿、下降沿都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)正向脈沖，所以輸出的 U0 應(yīng)該是兩倍頻率的脈沖信號(hào)，其中包含有二次諧波。

但這個(gè)電路的問題在于兩個(gè) RC 微分電路居然共用一個(gè)電阻，這就會(huì)對(duì)抵消微分作用，使得輸出不再會(huì)產(chǎn)生脈沖。所以需要對(duì)電路中共用的電阻 R 分開，每個(gè)電容分別使用他們各自的電阻才行。

答案 10：RC 濾波

答案 10

?

這個(gè)答案沒有給出具體電路，但通過(guò) C 表示方波信號(hào)施加在一個(gè)電容負(fù)載上，使得信號(hào)的上升沿和下降沿變化。

但是如果僅僅是一個(gè)電容負(fù)載，方波信號(hào)的上升沿、下降沿會(huì)變得平滑，但輸出的波形仍然是奇諧對(duì)稱的。除非在電路中還存在著其它非線性環(huán)節(jié)，否則這個(gè)方案是錯(cuò)誤的。

答案 11：JK 觸發(fā)器

答案 11

?

實(shí)際上這個(gè)電路是將 JK 觸發(fā)器當(dāng)做 T 觸發(fā)器來(lái)使用。輸出的信號(hào)應(yīng)該是原來(lái)方波信號(hào)的二分頻。

好吧，如果課程允許回溯追究的話，也就是后期課程的老師可以根據(jù)學(xué)生應(yīng)用前面選修課程內(nèi)容的情況，反過(guò)來(lái)對(duì)原來(lái)課程學(xué)分績(jī)進(jìn)行修改的話，估計(jì)這個(gè)同學(xué)了的數(shù)字電路的學(xué)分績(jī)需要降低了。當(dāng)然啦，這是玩笑。

答案 12：直接在原來(lái)信號(hào)的增加一個(gè)直流分量

答案 12

?

在信號(hào)上增加直流分量當(dāng)然無(wú)法改變信號(hào)的交流成分了，所以輸出的信號(hào)中自然也不會(huì)包含有二次諧波的成分的。

這個(gè)同學(xué)可能對(duì)奇諧對(duì)稱的概念并沒有完全理解。再分析奇諧對(duì)稱的時(shí)候，需要將原來(lái)周期信號(hào)的直流分量去除之后，再來(lái)看它的對(duì)稱性。

答案 13：通過(guò) ROM 改變波形

答案 13

?

這個(gè)方案希望通過(guò) ROM 來(lái)改變輸入信號(hào)的波形。思路是很好的，但是方波信號(hào)只能是一個(gè)地址位，怎么來(lái)產(chǎn)生相應(yīng)的 ROM 訪問地址呢？

這個(gè)方案之前還需要有一個(gè)計(jì)數(shù)器，來(lái)產(chǎn)生 ROM 的訪問地址，然后在 ROM 的輸出中可以設(shè)置任意序列方波信號(hào)了。所以這個(gè)設(shè)計(jì)不完整。

答案 14：三進(jìn)制計(jì)數(shù)器

答案 14

?

這個(gè)答案只是給了三進(jìn)制計(jì)數(shù)器的概念，并沒有給出計(jì)數(shù)器輸出信號(hào)的波形是什么樣的？如果理解是占空比為 1/3，頻率為原來(lái)頻率 1/3 的方波信號(hào)的話，在這個(gè)信號(hào)的諧波中，會(huì)具有 6 倍頻嗎？

結(jié)果令人遺憾，占空比為 1/3 的方波信號(hào)沒有 6 次諧波！具體原因請(qǐng)同學(xué)們回憶一下課上我們針對(duì)方波信號(hào)的波形（寬度、周期）與諧波之間的關(guān)系的分析上。

答案 15：JK 觸發(fā)器+RC 濾波

答案 15

這個(gè)問題前面分析過(guò)，輸出信號(hào)中不包含二次諧波。

除非這個(gè)電路中應(yīng)用到了 JK 觸發(fā)器 IC 電路輸出特性的非線性，否則是錯(cuò)誤的。

答案 16：T 觸發(fā)器+與非門

答案 16

?

這個(gè)電路是將原來(lái)的方波電路與它的二分頻信號(hào)進(jìn)行與非操作，可以獲得一個(gè)占空比為 1/4 的方波信號(hào)，該方波信號(hào)的頻率是原來(lái)方波信號(hào)的一半。

為了獲得原來(lái)方波信號(hào)的二倍頻，所以需要從占空比為 1/4 的方波信號(hào)中獲得它的 4 倍頻諧波。

很可惜！占空比為 1/4 的方波信號(hào)不包含四次諧波以及四次諧波的整數(shù)倍的諧波頻率。為什么？回憶一下上節(jié)課的討論。所以這個(gè)電路方案也是錯(cuò)誤的。

答案 17：二極管整流

答案 17

?

首先原來(lái)題目給定的信號(hào)是一個(gè) 0~5V 的信號(hào)，經(jīng)過(guò)二極管之后作用在電阻上，應(yīng)該輸出的信號(hào)波形與原來(lái)的方波是一模一樣的。

即使原來(lái)的方波信號(hào)不包含直流分量，那么經(jīng)過(guò)半波整流之后，所獲得的仍然是一個(gè)占空比為 50%的方波信號(hào)。所以這個(gè)電路也是錯(cuò)誤的。

答案 18：增加一個(gè)直流偏置

答案 18

?

這個(gè)方案前面分析過(guò)。只是增加信號(hào)的直流分量無(wú)法改變信號(hào)的交流分量，所以該電路也無(wú)法產(chǎn)生二倍頻信號(hào)。

答案 19：延遲+異或

答案 19

?

這個(gè)方案是正確的。理由前面分析過(guò)。

答案 20：RLC 電路

答案 20

?

RLC 組成的線性電路是無(wú)法產(chǎn)生輸入信號(hào)的而被聘的。這個(gè)方案是錯(cuò)誤的。

答案 21：選頻+平方電路

答案 21

這個(gè)電路屬于第一類方案，是正確的。

很可惜，自動(dòng)化系的同學(xué)學(xué)習(xí)完模擬電路之后，對(duì)于選頻電路、平方電路還無(wú)法給出具體的結(jié)構(gòu)。但是在當(dāng)今的時(shí)代，大部分的電路設(shè)計(jì)都是通過(guò)專用的 IC 來(lái)實(shí)現(xiàn)了。現(xiàn)在的同學(xué)不掌握這些具體的電路，對(duì)于將來(lái)的工程實(shí)踐不會(huì)造成太大的影響，誰(shuí)讓他們處在這個(gè)時(shí)代呢。